ધારો કે લક્ષ L = lim_{n rightarrow infty} sqr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ ની ગણતરી કરીએ. $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ આદેશ લેતા,$dx = \frac

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2} < L < 2$

Vedclass · Answer

(A) આપણે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ ની ગણતરી કરીએ. $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{dt}{\sqrt{n}}$ મળે. જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે સંકલન $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^{\sqrt{n}} \frac{1}{(1 + t^2/n)^n} \cdot \frac{dt}{\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\sqrt{n}} (1 + t^2/n)^{-n} dt$ બને છે. ઘાતાંકીય વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + t^2/n)^{-n} = e^{-t^2}$. તેથી,$L = \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt$. આપણે જાણીએ છીએ કે ગાઉસિયન સંકલન $\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ છે. $\pi \approx 3.14159$ હોવાથી,$\sqrt{\pi} \approx 1.772$. તેથી,$L = \frac{1.772}{2} = 0.886$. $0.5 < 0.886 < 2$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $\frac{1}{2} < L < 2$ છે.

ધારો કે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે $\frac{1}{2}$ કરતા મોટું છે. તો,

Similar Questions

$\int_0^\pi x f(\sin x) dx = $

જો $I_{n+1} = \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1} - 1}{x + 1} dx$ હોય,તો $I_{10} + I_{11} + 2 \log 2$ ની કિંમત શું થાય?

જો $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$ હોય, તો $g(x+\pi)$ ની કિંમત શું થાય?

$\int_{-4}^{4} \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) d x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module